یادگیری و آموزش ریاضی

بسمه تعالی

بین رشته های علمی ،که بشر در طول هزاران سال به وجود آورده ریاضیات جای مخصوص وضمنا مهمی را اشغال کرده است .  ریاضیات با علوم فیزیک ،زیست شناسی ،اقتصاد وفنون دیگر فرق دارد.با وجود این به عنوان یکی از روشهای اصلی در بررسیهای مربوط به کارمپیوتر ،فیزیک ،زیست شناسی ،صنعت واقتصاد بکار میرود ودراینده بازهم نقش ریاضیات گسترش بیشتری می یابد.

با وجود این مطلب ،برای آموزش جوانان هنوز از همان روشی استفاده می شود که سقراط وافلاطون ،حقایق عالی اخلاقی را برای شیفتگان منطق فلسفه وبرای علاقه مندان سخنوری وعلم کلام بیان می کردند.درحقیقت در درسهای حساب ،هندسه و جبر ،هرگز لزوم یادگیری آنها برای زندگی عملی خاطر نشان نمی شود .هرگز از تاریخ علم صحبتی  به میان نمی آید . نظریه های سنگین علمی ،ولی هیچ نتیجه ای جز این نداردکه دانش اموزان رااز  علم بری کند وعده ی انها را  تقلیل دهد .

یکی ازراههای جدی برای حل مسئله توجه به  تاریخ علم ،گفتگو در باره ی مردان علم و ارتباط ریاضی با عمل است ،ارتباطی که درتمام دوران زندگی بشر هرگز قطع نشده است.

حال به پاره ای از این ارتباطها و کاربرد برخی از موضوعهای درسی ریاضی راهنمایی اشاره می کنم:

کاربرد ارقام

در زمانهای قدیم هرقدمی که در راه پیشرفت تمدن  برداشته می شد ،بر لزوم استفاده از اعداد می افزود. اگر شخصی گله ای از گوسفند داشت می خواست معبد یا هرمی بسازد، باید میدانست که چقدر سنگ برای آن لازم دارد . اکردارای زمین بود می خواست آن را اندازه گیری کند . اگر قایقش را به دریا می راند ، می خواست  فاصله ی خود را از ساحل بداند . وبالاخره  در تجارت ومبادله اجناس در بازارها ،باید ارزش اجناس حساب میشد. هنگامی که آدمی حساب را آموخت توانست زمان ،فاصله مساحت ،حجم را اندازه گیری کند. با بکار بردن ارقام ،انسان بر دانش و تسلط خود بر دنیای پیرامونش افزود .

کاربرد توابع و روابط بین اعداد

کاربرد روابط  بین اعداد وتوابع و نتیجه گیریهای منطقی در نوشتن الگوریتمها و برنامه نویسی کامپیوتر است.

مفهوم تابع یکی از مهمترین مفاهیم  ریاضی است ودر اصل تابع نوعی خاص ازبرنامه های بین دو مجموعه است . وبا توجه به این که دنباله ها هم حالت خاصی از تابع است ـ تابعی که دامنه ان مجموعه ی  اعداد {0و1و2و3و...} است  ـ  دنباله های عددی در ریاضی و کامپیوتر کاربرد فروان دارند .برای ساخت یک برنامه اساسا  چهار مرحله را طی می کنیم :

1ـ تعریف مسئله

2ـ طراحی حل

3ـ نوشتن برنامه

4ـ اجرای برنامه

لازم به ذکر است  که گرد آیه های که در مرحله دوم حاصل می شود را اصطلاحا الگوریتم می نامیم . که این  الگوریتمها به زبان شبه کد نوشته می شود ،که شبیه زبان برنامه نویسی است وتبدیل  انها به زبان نویسی را برای ما بسیار ساده می کند .

((هیچ دانسته ی بشر را نمی توان علم نامید ،مگر اینکه از طریق ریاضیات توضییح داده شده و ثابت شود .)) (لئو ناردو داونچی)

کاربرد معادله و دستگاه معادلات خطی

دستگاههای معادلات خطی اغلب  برای حساب  کردن بهر ه ی ساده ،پیشگویی  ،اقتصاد و پیدا کردن نقطه سر به سر به کار میرود .

معمولا هدف ازحل کردن یک دستگاه معادلات خطی ،پیدا کردن محل تقاطع دو خط  می باشد در مسائل دخل و خرج  که در مشاغل مختلف وجود دارد ،پیدا کردن نقطه تقاطع  معادلات خط  یعنی همان پیدا کردن  نقطه سر به سر^×. در اقتصاد هم نقطه تقاتع  معادلات خطی ، عبارتست از: قیمت بازار یا نقطه ای که در آن عرضه و تقاضا با هم برابر باشند.

نقطه سر به سر: دربسیاری مشاغل ،هزینه ی تولید C وتعداد X  کالای تولید شده رامی توان بصورت خطی بیان کرد.به همین ترتیب درآمد R حاصل ازفروش X قلم کالای تولیدشده رانیزمی توان بایک معادله خطی نشان داد.وقتی هزینه یC ازدرآمد R  حاصل ازفروش بیشترباشداین تولید ضررمی دهد و وقتی در آمد R از C بیشتر باشد تولید سود می دهد. وهرگاه درآمد R و هزینه C مساوی باشند ،سود و زیانی در بین نیست و نقطه ای که در آن R=C باشد ، نقطه سر به سر نامیده می شود.

کاربرد مساحت

مفهوم مساحت و تکنیک محاسبه اشکال مختلف از اهم مطالب هندسه است. به سبب کاربرد فراوانیکه در زندگی روزمره مثلا برای محاسبه مساحت زمینها با اشکال مختلف و همچنین در فیزیک وجغرافیا و سایر دروس دانستن مساحتها لازم به نظر می رسد.

کاربرد چهار ضلعیها

شناخت چهارضلعیها ودانستن خواص آنها، برای یادگیری مفاهیم دیگر هندسه لازم است. وضمنا در صنعت و ساخت ابزار  ولوازم زندگی و همچنین برای ادامه تحصیل و همینطور در بازار کار نیاز به دانستن خواص چهار ضلعیها احساس می شود .

کاربرد خطوط موازی و تشابه ها

از خطوط موازی و متساوی الفاصله ودر نقشه کشی و ترسیمات استفاده میشود ،

و در اثبات احکامی نظیر تالس و عکس آن و همچنین تقسیم پاره خط به قسمتهای مساوی یا متناسب.

تشابهات نیز از مفاهیم مهم هندسه و اساس نقشه برداری ، کوچک وبزرگ کردن نقشه ها و تصاویر و عکسها می باشد. مبحث تشابهات در هندسه دریچه ای است به تواناییای جدید برای در ک و فهم و کشف مطالب تازه ی هندسه ، به همین سبب آموزش خطوط موازی و متساوی الفاصله ومثلثهای متشابه به حدنیاز دانش آموز راهنمایی لازم است.

تالس انشمند یونانی نشان داد به وسیله سایه یک شیئ  و مقایسه آن با سایه یک خط کش می توان ارتفاع آن شئ را اندازه گرفت. با استفاده از اصولی که وی ثابت کرد ، می توان بلندی هر چیزی را حساب کرد . تنها چیزی که نیاز دارید ، یک وسیله ساده اندا زه گیری  است که می توان آنرا از یک تکه چوب یا قطعه ای مقوا درست کرد .(کتاب درجهان ریاضت نوشته اریک اوبلاکر(

تالس به کمک قضیه خود ارتفاع اهرام مصر را محاسبه کرد و همچنین وقتی از مصر به یونان باز گشت فاصله یک کشتی را از ساحل به کمک قضیه خود اندازه گرفت .

روش دیگری هم برای محاسبه بلندی  وجود دارد و آن استفاده از نسبتهای مثلثاتی (ریاضی دوران متوسطه) است.

کاربرد آمار و میانگین

وقتی کسی از مقادیر عددی کمک می گیرد تا یک موقعیت را توضیح دهد او وارد قلمرو آمار شده است. آمار معمولا اثر تعیین کننده ای دارد که می تواند مفید و یا گمراه کننده باشد، چه بسا تصمیمی از جانب مسئولین یک کشور بر پایه اطلاعات آماری درست باعث بهبودی اوضاع  و یا داشتن اطلاعات غلط و ناکافی آماری تصمیمی غلط را در پی داشته است. پدیده های زیادی نظیر احتمال پیروزی یک کاندیدای ریاست جمهوری، وضعیت اقتصادی ( تورم، درآمد ناخالص ملی ، تعداد بیکاران ، کم وزیاد شدن نرخ سهام بازار بورس، میزان بیمه ، جذر و مد ) و غیره.

قلمرو آمار به طور مرتب در حال بزرگ شدن است. آمار می تواند در موارد زیادی ،برای قانع کردن مردم و یا انصراف آنها از یک تصمیم مؤثر باشد.به عنوان مثال اگر مردم احساس کنند رأی آنها در نتیجه انتخابات بی تأثیر است در انتخابات شرکت نخواهند کرد.

 در عصر ما آمار یک ابزار قوی و فانع کننده است که مردم به نتایج حاصل از آمارها اعتماد بیشتری نشان می دهند.

مقاطع مخروطی

در هوای گرم بستنی بسیار خوشمزه و دلچسب است اونهم از نوع قیفی اش. تصور کنید در ظهر گرم در زیر سایه مطبوع و خنک یک درخت ، فارغ از جار و جنجال روزگار به خوردن بستنی مشغولید در این حالت شاید همه چیز از ذهن شما بگذرد مگر همان بستنی قیفی که مشغول خوردن آنید.

این مطلب توجه یک ریاضیدان خوش ذوق بلژیکی را به خود جلب کرد و آن را برای توضیح یکی از مطالب مهم ریاضی یعنی مقاطع مخروطی بکار برد. بسیاری از اشکال پیرامون زندگی ما به شکلی از اشکال مقاطع مخروطی اند.

ترسیمات هندسی

در ترسیمات و قسمتمهای دیگر هندسه ،نیاز فراوان به شناخت دایره و اجزا و خواص آن پیدا میشود، لذا در دوره راهنمایی ، مفهوم دایره و، وضع نقطه و خط نسبت به دایره ، زاویه مرکزی ، زاویه محاطی و تقسیم دایره به کمانهای  مساوی آموزش داده می شود وبه این ترتیب دانش آموز برا ی یادگیری مطالب بعدی و استفاده علمی از آنها آماده میشود . ( همچنین من فکر می کنم که از زاویه محاطی و اندازه آن برای نور پردازی استفاده میشود .)

کاربرد ریاضی در هنر و معماری

تاریخ نشان می دهد که درطی قرون ، هنر مندان و آثارشان تحت  تأثیر شدید ریاضیات قرار گرفته اند و زیبایی اثرشان به میزان آگاهی از این دانش بستگی داشته است . ما هم اکنون استفاده آگاهانه از مستطیل طلایی را در هنر یونان  باستان ، به ویژه در آثار پیک تراش یونانی "فیدیاس" دقیقا مشاهده میکنیم .

مفاهیم ریاضی از قبیل نسبتها ، تشابه ، پرسپکتیو ، خطای باصره تقارن، اشکال هندسی، حدود و مفهوم بی نهایت در آثار هنری موجود از قدیم و آثار امروزی مکمل زیبایی آنها بوده است. و اکنون نیز در کامپیوتر به کمک ریاضیات هنر را از ابتدایی تا مدرن توسعه میدهد.

اگر آگاهی هنرمندان با ریاضیات و استفاده علمی از آن نبود ، برخی از آثار هنری خلق نمی شدند. بهترین نمونه آن تصاویر موزائیکی هنرمندان مسلمان و گسترش این شکلهای هندسی به وسیله  M.S.ESHER”" جهت نشان دادن اجسام متحرک است . اگر هنرمندان به مطالعات توجهی نداشتند و خصوصیات اشکال را از نظر تطابق ،  تقارن انعکاس ، دوران ، انتقال و...کشف نکرده بودند، خلق این همه آثار هنری امکان پذیر نبود.

" هنر ریاضیات ، پرسیدن پرسشهای درست است و قطعه اصلی کار در ریاضیات تخیل است وآنچه که این قطعه اصلی را به حرکت در می آورد منطق می باشد و امکان استدلال منطقی آن زمان به وجود می آید که ما پرسشهای خود را درست مطرح کرده باشیم ."         نوربرت ونیز

کاربرد حجم

به سبب نیازی که دانش آموز در زندگی روزمره و همینطور در بکار گیری آن در سایر علوم نظیر شیمی ، فیزیک ، زیست شناسی و مخصوصا هنر برایش پیش می آید ، همچنین در شغلهایی که در جامعه وجود دارد ، در زندگی روزمره ویادر ادامه تحصیل ، دانستن دستورهای محاسبه حجمها ی اجسام ، یادگیری مبحث حجم ضروری به نظر میرسد.

کاربرد رابطه فیثاغورس

فیثاغورس دانشمند یونانی در باره رابطه های عددی در ساختمانهای هندسی وجو دارد تحقیق میکرد. او مثلث معروف به مثلث مصری را که ضلعهای آن با عددهای 3و 4و 5 میشود را می شناخت.

مصریها می دانستند که چنین مثلث قائم الزاویه است . و ازآن برای تعیین زاویه های قائمه در تحدید تقسیم بندی زمینهای اطراف رود نیل که هر سال در اثر طغیان آب شسته میشد، استفاده میکردند.

یکی از مشکل ترین مسائل در ساختن اهرام ومعبدها ، طرح شالوده بنا به شکل مربع بود که هم تراز با سطح افق باشد .یک اشتباه جزئی به قیمت از شکل افتادن همه بنا تمام میشد. مصریان این مشکل را با ساختن شاقول از میان برداشتند. نخستین شاقول احتمالا ریسمان یا نخی بود که وزنه ای به آن آویخته بودند و آنرا در برابر بنا می گرفتند تا وزنه آن به زمین صاف برسد. در این حالت نخ میبایست کاملا عمود ویا اصطلاحا شاقول باشد و با زمین صاف زاویه قائمه بسازد.

همچنین معماران کشف کردند که چگونه می توان با ریسمانهای اندازه گیری شده که در فاصله های مشخصی به اندازه های اعداد فیثاغورثی گره خورده بودند مثلثهای قائم الزاویه بسازند. واین مثلثها را  را هنمای خویش در ساختن گوشه ها (نبشها)ی بنا فرار دهند.

نتیجه گیری

هیچ موضوعی در ریاضی نیست که کاربرد نداشته باشد که ممکن است در مسائل روزمره ، در مطالعه و مدلسازی علوم دیگر ، و یا در یادگیری مباحث مرتبط بعدی ریاضی کاربرد داشته باشد.